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貝葉斯公式（發表于1763年）為：

這就是著名的“貝葉斯定理”，一些文獻中把P(B[1])、P(B[2])稱為基礎概率，P(A│B[1])為擊中率，P(A│B[2])為誤報率。

吸毒者檢測

貝葉斯定理在檢測吸毒者時很有用。假設一個常規的檢測結果的敏感度與可靠度均為99%，也就是說，當被檢者吸毒時，每次檢測呈陽性（+）的概率為99%。而被檢者不吸毒時，每次檢測呈陰性（-）的概率為99%。從檢測結果的概率來看，檢測結果是比較準確的，但是貝葉斯定理卻可以揭示一個潛在的問題。假設某公司將對其全體雇員進行一次鴉片吸食情況的檢測，已知0.5%的雇員吸毒。我們想知道，每位醫學檢測呈陽性的雇員吸毒的概率有多高？令“D”為雇員吸毒事件，“N”為雇員不吸毒事件，“+”為檢測呈陽性事件。可得

• P(D)代表雇員吸毒的概率，不考慮其他情況，該值為0.005。因為公司的預先統計表明該公司的雇員中有0.5%的人吸食毒品，所以這個值就是D的先驗概率。

• P(N)代表雇員不吸毒的概率，顯然，該值為0.995，也就是1-P(D)。

• P(+|D)代表吸毒者陽性檢出率，這是一個條件概率，由于陽性檢測準確性是99%，因此該值為0.99。

• P(+|N)代表不吸毒者陽性檢出率，也就是出錯檢測的概率，該值為0.01，因為對于不吸毒者，其檢測為陰性的概率為99%，因此，其被誤檢測成陽性的概率為1-99%。

• P(+)代表不考慮其他因素的影響的陽性檢出率。該值為0.0149或者1.49%。我們可以通過全概率公式計算得到：此概率 = 吸毒者陽性檢出率（0.5% x 99% = 0.00495)+ 不吸毒者陽性檢出率（99.5% x 1% = 0.00995)。P(+）=0.0149是檢測呈陽性的先驗概率。用數學公式描述為：



• 根據上述描述，我們可以計算某人檢測呈陽性時確實吸毒的條件概率P(D|+)：

P(D|+) = P(+|D)P(D)/(P(+|D)P(D)+P(+|N)P(N))=0.99 *0.005/0.0149=0.332215

盡管我們的檢測結果可靠性很高，但是只能得出如下結論：如果某人檢測呈陽性，那么此人是吸毒的概率只有大 約33%，也就是說此人不吸毒的可能性比較大。我們測試的條件（本例中指D，雇員吸毒）越難發生，發生誤判的可能性越大。

但如果讓此人再次復檢（相當于P(D)=33.2215%，為吸毒者概率，替換了原先的0.5%），再使用貝葉斯定理計算，將會得到此人吸毒的概率為98.01%。但這還不是貝葉斯定理最強的地方，如果讓此人再次復檢，再重復使用貝葉斯定理計算，會得到此人吸毒的概率為99.8%（99.9794951%）已經超過了檢測的可靠度。

投資決策

貝葉斯定理用于投資決策分析是在已知相關項目B的資料，而缺乏論證項目A的直接資料時，通過對B項目的有關狀態及發生概率分析推導A項目的狀態及發生概率。如果我們用數學語言描繪，即當已知事件Bi的概率P（Bi）和事件Bi已發生條件下事件A的概率P（A│Bi），則可運用貝葉斯定理計算出在事件A發生條件下事件Bi的概率P（Bi│A）。按貝葉斯定理進行投資決策的基本步驟是：

1 列出在已知項目B條件下項目A的發生概率，即將P（A│B）轉換為 P（B│A）；

2 繪制樹型圖；

3 求各狀態結點的期望收益值，并將結果填入樹型圖；

4 根據對樹型圖的分析，進行投資項目決策。

其他應用

搜索巨人Google和Autonomy，一家出售信息恢復工具的公司，都使用了貝葉斯定理（Bayesian principles）為數據搜索提供近似的（但是技術上不確切）結果。研究人員還使用貝葉斯模型來判斷癥狀和疾病之間的相互關系，創建個人機器人，開發能夠根據數據和經驗來決定行動的人工智能設備。